Préface de Valerio Vassallo, maître de conférences à l’Université Lille 1 et mathématicien en résidence à la Cité des Géométries
Tous les matins, on se poste devant la glace de sa salle de bains et observe son image. Puis on se lave la figure, se coiffe, se maquille ou se rase. Pendant qu’on accomplit tous ces rituels aussi anciens que l’humanité, on est surpris de découvrir un être qui paraît identique à nous-mêmes, mais qui accuse toutefois quelques différences.
On se surprend soi-même à faire quelques gestes pour comprendre ce qui se passe. On est tout autant étonné lorsqu’on regarde son image bouger dans une flaque d’eau, une rivière ou un lac. Les mathématiciens et les physiciens ont souvent recours à ces exemples pour introduire l’un des sujets majeurs des sciences : la symétrie. Les peintres ont aussi été très sensibles à ce phénomène de réflexion. Un bel exemple de symétrie est fourni par la toile Narcisse, attribuée au Caravage et conservée à la Galerie nationale d’art ancien de Rome.
Ces phénomènes de réflexion ne sont donc pas passés inaperçus aux yeux des scientifiques et ont fait de la symétrie l’un des objets les plus étudiés. Les mathématiciens disent que l’image de notre corps dans la glace est le symétrique de notre propre corps par rapport au plan de la glace. Il ne s’agit pas alors seulement de contempler une image (la sienne, en l’occurrence), mais aussi d’en apprécier les différences.
Dès l’école primaire, les professeurs sensibilisent les enfants à la notion de symétrie au moyen de dessins. Souvent, ils font tracer une ligne droite sur une feuille de papier (cette ligne remplacerait la glace), puis demandent aux enfants de dessiner un objet à gauche de cette ligne, par exemple une lettre de l’alphabet, une maison ou un personnage, et de tracer son symétrique par rapport à la ligne.
Le premier objet dessiné devient un autre objet. Si on trace une deuxième ligne à côté du reflet de l’objet initial et parallèle à la précédente, puis on dessine l’image symétrique du second objet par rapport à cette ligne, on obtient alors un troisième objet parfaitement identique au premier.
Dans un langage plus technique, on peut dire qu’on a composé les deux symétries, c’est-à-dire qu’on a appliqué une symétrie l’une après l’autre. On peut remarquer que l’objet initial, en composant deux symétries, a subi un déplacement ou, en langage mathématique, une translation. L’on comprend alors pourquoi les mathématiciens se sont intéressés non seulement à une unique symétrie, mais aussi aux effets obtenus en composant plusieurs symétries.
Dans certaines classes, les professeurs illustrent la théorie des symétries par des expériences avec de vrais miroirs. Ainsi, un ou plusieurs petits miroirs (souvent de forme rectangulaire) sont disposés verticalement, en parallèle ou côte à côte, pour réfléchir des objets, et observer ainsi ce que devient leur image. Il est aussi intéressant de regarder dans un miroir le mouvement d’une pendule et de constater que le mouvement des aiguilles est renversé ! On dit alors que les symétries conservent les longueurs des aiguilles, mais renversent le mouvement rotatoire. La symétrie est donc une transformation des objets, qui change le sens des rotations et garde inchangées les longueurs. Pour cette raison, entre autres, les mathématiciens ont inventé un autre nom pour ces objets inchangés : les invariants.
Lorsque deux miroirs forment un angle particulier, on peut constater que le nombre d’images change en fonction de la valeur de l’angle. Des couples de miroirs juxtaposés forment un kaléidoscope, nom d’origine grecque qui signifie « regarder un bel objet ». Les images des objets obtenues sont surprenantes et, comme le mot kaléidoscope l’indique, elles sont vraiment très belles. Elles semblent suggérer que l’objet initial a subi une rotation autour de l’axe formé par les deux miroirs. On passe alors du monde réel au monde mathématique. Les mathématiciens ont en effet découvert que les déplacements dans le plan des figures sont tous engendrés par un seul et même mouvement : la symétrie !
Les images de kaléidoscopes rappellent parfois celles qu’on retrouve dans les papiers peints, les mosaïques et les ornements. Les régularités présentes dans ces images ne devaient pas intriguer que les artistes, mais aussi faire réfléchir les mathématiciens, friands de tout ce qui leur semble « régulier ». Les scientifiques, étant toujours préoccupés à chercher la symétrie dans leurs objets d’études habituels, comme les équations algébriques ou les polygones réguliers, ont porté leur attention sur la symétrie elle-même et inventé l’un de leurs outils les plus puissants pour la comprendre, la théorie des groupes, que ce livre aborde. Il est surprenant de s’apercevoir que les groupes ont été pressentis par les artisans et les artistes qui en ont laissé les prémices dans les magnifiques motifs de l’Alhambra, à Grenade ! Ce lieu symbolise à lui seul les croisements des génies artistique et scientifique et démontre que la frontière entre art et mathématiques est parfois tellement subtile qu’il est difficile de faire la différence entre les deux.
Extrait du Chapitre 6 – De la symétrie partout
Un petit tour du côté de la biologie et de la chimie
L’exploration de ce monde est très étendue : il présente en effet de nombreuses occasions de s’arrêter et d’observer les manifestations naturelles de la symétrie.
La manifestation la plus spectaculaire de symétrie est celle de la double hélice de l’ADN, une structure introduite dans notre culture par James Watson (né en 1928) et Francis Crick (1916-2004) et qui est devenue une icône du progrès de l’humanité.
Représentation de la double hélice de l’ADN.
Toutefois, dans le domaine biologique, il existe des centaines d’exemples de processus, de motifs et de formes dans lesquels la symétrie a laissé son empreinte, souvent de manière discrète. Nous donnerons ici quelques exemples courts. Ainsi, le narval est habitué à n’avoir qu’une seule dent (et non pas une corne) qui présente un enroulement caractéristique en spirale. Pourtant, certains spécimens en présentent deux. Et quand cela est le cas, les deux sont des hélices de symétrie gauche. D’un autre côté, la surface de l’adénovirus, un virus commun, est icosaédrique et dotée d’une symétrie basique. Les cornes de l’argali de Marco Polo suivent une symétrie hélicoïdale et sont énantiomorphes l’une à l’autre. On peut aussi penser que les abeilles sont d’illustres géomètres, et aujourd’hui encore, on recherche le mécanisme qui les pousse à construire leurs nids de manière si géométrique, en formant des cellules hexagonales parfaites.
Un papillon, un parfait exemple de symétrie bilatérale… ou d’éthologie en action ?
La musique symétrique
On peut parler longuement de l’influence plus ou moins importante de la symétrie dans la musique, mais ici, nous ne citerons que quelques curiosités musicales symétriques que, par exemple, des compositeurs comme Bach, dans l’Art de la fugue et Mozart ont présentées dans des pièces à la symétrie évidente. Un exemple accessible à tous est cette partition de Mozart qui se joue à l’unisson par deux violons, un la lisant à droite et l’autre, dans le sens inverse.
Partition de la composition de Mozart intitulé Der Spiegel (Le Miroir).